Les mathématiques en BL
 



Vous pouvez consulter le programme détaillé ci-dessous ou dans la rubrique : « Programmes officiels ».
Attention, le programme rappelé en bas de cette page concerne le texte en vigueur pour la session 2018 des concours ENS-BLSES et BCE!


Ce programme, qui couvre les deux années (hypokhâgne et khâgne) comporte trois parties, d’importance égale : algèbre linéaire, analyse, et probabilités. De même que dans les autres disciplines, le programme officiel n’impose pas ce qui doit être traité en première année et ce qui doit l’être en seconde. Dans la plupart des classes, en hypokhâgne sont étudiées les notions fondamentales de l’algèbre linéaire (vocabulaire général de l’algèbre et dénombrement, espaces vectoriels, matrices, systèmes d’équations linéaires) et de l’analyse (polynômes, suites, fonctions, intégrales sur un segment). Les chapitres plus complexes (diagonalisation des matrices, séries, intégrales généralisées) ainsi que les probabilités sont traités en khâgne.

Le programme ne comporte pas de notions très difficiles. En terme de connaissance pure, les élèves de ES et de L ne sont pas vraiment désavantagés par rapport aux élèves issus de la filière S (les seules lacunes véritables portent sur les fonctions trigonométriques et les nombres complexes). Les élèves de S sont par contre avantagés par leur plus grande habitude à manier les objets mathématiques. La grande difficulté des mathématiques en BL ne vient pas du programme lui-même, mais de l’esprit du concours. Les énoncés, écrits et oraux, posés depuis une trentaine d’années privilégient en effet systématiquement la rigueur, le raisonnement, la compréhension des concepts et des objets mathématiques utilisés, plutôt que l’aspect calculatoire. C’est la philosophie de la filière BL que l’on retrouve dans toutes les disciplines enseignées : transmettre aux étudiants la culture, encourager la réflexion, le raisonnement argumenté et la rigueur, privilégier la compréhension à l’apprentissage de savoir-faire mal assimilés. L’esprit dans lequel le programme est traité est évidemment le même, puisqu’il s’agit de préparer les élèves au concours. C’est la raison pour laquelle le niveau d’exigence des mathématiques de BL est réputé, à juste titre, très élevé. Raisonner est plus difficile que calculer ; mais c’est aussi beaucoup plus intéressant et formateur. Les élèves les plus à l’aise sont donc ceux qui ont du goût pour l’abstraction, des qualités de rigueur et de précision. Les élèves qui réussissent au lycée en apprenant par cœur des techniques calculatoires sans bien les comprendre se retrouvent très rapidement en difficulté. Cela explique que les étudiants les plus avantagés par leur scolarité antérieure sont ceux qui ont choisi en terminale S la spécialité mathématiques, et ce bien qu’aucun des chapitres de cette spécialité ne se retrouve dans le programme de BL ! Car ces chapitres (en particulier l’arithmétique) sont, de loin, dans le programme de terminale S, ceux qui développent le plus le sens du raisonnement et de la rigueur. Si vous êtes élèves en première S et que vous envisagez d’entrer en BL après votre baccalauréat, il est clair que le choix le plus judicieux que vous puissiez faire est celui de la spécialité mathématiques en terminale.

Il est également vivement conseillé (bien que cela ne soit pas une obligation) aux élèves de ES de choisir cette spécialité, non en raison de ses contenus, mais pour prendre l’habitude de manier les objets mathématiques de base. Pour les élèves de L, la spécialité mathématique est par contre demandée en terminale par les commissions de recrutement en BL.
La maîtrise du programme de BL donne un niveau de base solide en mathématiques, comme en témoigne le fait que 18 élèves de BL intègrent chaque année l’ENSAE, et y suivent, dès la seconde année, les même cours que les élèves issus de maths spé MP ou MP*, et que les polytechniciens qui font l’ENSAE comme école d’application. Il va de soi que les élèves de BL qui suivent ultérieurement des cours d’économie (dans une ENS ou à l’université) n’y éprouvent pas de difficultés en mathématiques.




Programme de mathématiques

I. − Algèbre linéaire

Les définitions d’un groupe et d’un corps (au sens de corps commutatif) seront données, à l’exclusion de toute théorie relative à ces notions. Le corps de base est R ou C. Les nombres complexes ne figurent pas dans ce programme pour eux-mêmes, mais comme outils. Sont à connaître les règles élémentaires de calcul, les notations Re (z), lm (z), z, z, le module et l’argument d’un produit, l’inégalité triangulaire, la résolution de l’équation du second degré à coefficients réels et de l’équation zn = a, l’affixe d’un point et d’un vecteur.

A. − Espaces vectoriels et applications linéaires 
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme. 
Espaces vectoriels de dimension finie ; bases, rang d’une application linéaire ; somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires.

B. − Calcul matriciel 
Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée. Matrices carrées d’ordre n ; groupe des matrices inversibles. 
Matrice d’une application linéaire ; effet d’un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables.

C. − Systèmes d’équations linéaires 
Les déterminants ne sont pas au programme. 
Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l’inverse d’une matrice carrée. 
Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice carrée. Méthode du pivot de Gauss appliquée aux questions suivantes : recherche d’une forme triangulaire, de l’inverse d’une matrice carrée, résolution d’un système de n équations linéaires à p inconnues.

D. − Valeurs propres et vecteurs propres 
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme (ou d’une matrice carrée). 
Toute somme de sous-espaces propres est directe. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si l’espace est somme directe des sous-espaces propres. 
La notion de polynôme caractéristique n’est pas au programme ; la réduction des matrices à la forme triangulaire n’est pas au programme.

II. − Analyse

A. − Suites et séries de nombres réels 
Enoncé des propriétés de R (admises). 
Suites de nombres réels. Suites monotones. Suites définies par une relation de récurrence un + 1 = f (un). 
Convergence d’une série. Somme. Séries à termes positifs, comparaison de deux séries. Séries à termes réels. 
Convergence absolue.

B. − Continuité et dérivation 
a) Fonctions numériques d’une variable réelle. 
Notion de limite. 
Théorèmes sur les limites. 
Continuité d’une fonction. Enoncé des propriétés des fonctions continues sur un intervalle (sans démonstration). 
Fonctions monotones. Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. 
b) Notion de dérivée. 
Calcul des dérivées, dérivée d’une fonction composée, d’une fonction réciproque. Fonction dérivée, dérivées d’ordre supérieur. 
c) Théorème des accroissements finis. Sens de variation d’une fonction dérivable. Graphe.

C. − Fonctions usuelles 
Fonctions polynômes, fonctions rationnelles. 
La construction formelle des polynômes et fractions rationnelles n’est pas au programme, pas plus que les notions de PGCD, PPCM, polynômes premiers entre eux. Le théorème de d’Alembert est admis. Aucun résultat sur la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples n’est à connaître. 
Degré. Définition de la division euclidienne (résultats admis). Zéros (ou racines) d’un polynôme, divisibilité par (x-a). Ordre de multiplicité d’un zéro. Décomposition d’un polynôme réel sur C et sur R (existence et unicité admises). 
Fonctions circulaires et circulaires réciproques. 
En dehors des formules cos² x + sin² x = 1, sin x = cos ( pi/2- x), tan x = sin x/cos x, aucune formule de trigonométrie autre que celles résultant des symétries des fonctions cos, sin, tan n’est à mémoriser. 
Fonctions logarithmiques et exponentielles. 
Fonctions puissances. Fonctions définies par exp(it), formules de Moivre et d’Euler. 
Comparaison, pour x tendant vers l’infini, des fonctions x puissance a, a puissance x, lnx.

D. − Intégration 
a) Définition et propriétés de l’intégrale d’une fonction continue, lien avec les primitives (la présentation n’est pas imposée ; on peut admettre qu’une fonction continue possède une primitive). Inégalité de la moyenne. 
b) Intégration d’une fonction continue sur un intervalle non compact ; convergence, convergence absolue. 
c) Calcul de primitives et d’intégrales. Changement de variables. Intégration par parties. Exemples. 
Exercices simples d’intégration de fonctions (par exemple : fonctions rationnelles, produit d’une exponentielle par un polynôme).

E. − Méthodes d’approximation 
a) Approximation locale des fonctions. Formule de Taylor-Young. Développements limités. Application à la recherche de limites. 
b) Comparaison d’une série et d’une intégrale. Séries de Riemann.

F. − Fonctions de plusieurs variables 
Fonctions numériques de plusieurs variables ; dérivées partielles (d’ordres un et deux) ; théorème de Schwarz. Différentielle. Fonctions homogènes ; théorème d’Euler. Conditions nécessaires (du premier ordre) pour un extremum libre. Extrema liés dans le cas d’une contrainte linéaire.

III. − Probabilités et statistique

Dans tout ce paragraphe, on mettra l’accent sur la correspondance entre le vocabulaire et les notions intuitives (probabilités, événements, variables aléatoires, indépendance), les exemples, les techniques de calcul et non sur la justification théorique des résultats.

A. − Fondements des probabilités. 
On introduira le vocabulaire indispensable relatif aux ensembles : réunion, intersection, complémentaire, partition. Aucun exercice ou problème ne portera exclusivement sur ces notions.

1. Analyse combinatoire : Permutations, arrangements et combinaisons (sans répétition). Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal.

2. Probabilités discrètes : 
Epreuve, ensemble des résultats de l’épreuve (univers), tribu (ou sigma-algèbre) des événements ; définition d’une probabilité, additivité. 
On se limitera au cas où les événements sont les parties de l’univers et l’on procédera par addition des probabilités des événements élémentaires.

3. Probabilité conditionnelle : Définition, propriétés, formule P (B) = Somme( P (A i) P Ai (B)), formule de Bayes. Indépendance de 2, de n événements.

B. − Variables aléatoires. 
On n’insistera pas sur les aspects théoriques, l’important étant la maîtrise intuitive et opératoire du concept.


1. Variables aléatoires discrètes : 
On se limitera au cas où l’ensemble des valeurs est fini ou inclus dans Z. 
Loi de probabilité, fonction de répartition, définie par F (x) = P (X <= x). 
Exemples : variable certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson.

2. Variables aléatoires à densité : 
Densité de probabilité, fonction de répartition. 
On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur R et admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. On étendra au cas des variables aléatoires à densité le langage et les résultats des paragraphes A2 et A3. 
Loi uniforme sur un segment, loi exponentielle, loi normale. L’égalité Intégrale de -infini à +infini de exp (− t2/2) dt = racine carrée de 2pi doit être connue des candidats, sans qu’ils aient à la justifier.

3. Paramètres de position et de dispersion : 
Espérance, variance, écart-type.

4. Couples de variables aléatoires discrètes : 
Loi d’un couple ; lois marginales, lois conditionnelles. Covariance. 
Couple de variables aléatoires indépendantes, variance de leur somme ; extension à n variables.

C. − Statistique descriptive et statistique inférentielle

1. Statistique descriptive élémentaire : 
Echantillon de n observations d’une variable numérique. 
Description de la répartition des valeurs : diagrammes en bâtons, histogrammes. 
Paramètres de position : moyenne, médiane, quantiles. 
Paramètres de dispersion : variance, écart-type, écarts interquantiles.
2. Statistique inférentielle : 
Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance. 
Notion d’estimateur : biais et variance d’un estimateur. 
Enoncé (sans démonstration) de la loi faible des grands nombres et du théorème de la limite centrée. 
Notion d’intervalle de confiance sur une moyenne et une proportion.
 
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